Теория игр — это область математики, изучающая стратегическое поведение игроков в различных ситуациях, когда результат зависит не только от их собственных действий, но и от действий других участников. Она применяется для анализа ситуаций с конкуренцией и сотрудничеством.
Игроками являются участники, которые принимают решения и выбирают стратегии для достижения своей цели.
Стратегия — это план действий, который игрок будет следовать, учитывая возможные ходы других игроков.
Платёжная матрица показывает, какие выигрыши получают игроки в зависимости от того, какие стратегии они выбирают.
Теория игр используется для анализа множества реальных ситуаций:
Платежная матрица для игроков P и Q имеет следующий вид:
| q1 | q2 | q3 | q4 | |
|---|---|---|---|---|
| p1 | 8 | 9 | 9 | 4 |
| p2 | 6 | 5 | 8 | 7 |
| p3 | 3 | 4 | 8 | 6 |
| p4 | 8 | 9 | 9 | 4 |
Для начала обработаем доминирующие строки, чтобы упростить решение задачи: будем убирать одинаковые строки и столбцы; строки, которые поэлементно меньше остальных; столбцы, которые поэлементно больше остальных.
| 8 | 9 | 9 | 4 |
| 6 | 5 | 8 | 7 |
| 3 | 4 | 8 | 6 |
| 8 | 9 | 9 | 4 |
| 8 | 9 | 9 | 4 |
| 6 | 5 | 8 | 7 |
| 3 | 4 | 8 | 6 |
| 8 | 9 | 9 | 4 |
| 6 | 5 | 8 | 7 |
Получаем конечную упрощенную платежную матрицу для двух игроков.
| 8 | 9 | 4 |
| 6 | 5 | 7 |
Далее ищем седловую точку для двух игроков.
Оптимальная стратегия для первого игрока: выбрать ту строку, в которой наименьший вариант максимален. В первой строке это 4, во второй 5. Берем элемент 5
Оптимальная стратегия для второго: выбрать тот столбец, в котором наибольший элемент минимален. В первом столбце – 8, во втором – 9, в третьем – 7. Берем элемент 7.
Выбранные элементы не равны, значит будем решать в смешанных стратегиях/
Составляем системы уравнений. Для игрока P (максимизация) - максимизировать v при условиях:
Для игрока Q (минимизация) - минимизировать v при условиях:
Решая эти системы уравнений симплекс методом получаем: Цена игры = 6
Оптимальная стратегия игрока P: (0.6, 0.4)
Оптимальная стратегия игрока Q: (0.5, 0, 0.5)
Внесите данные и получите результат.