Принятие решений с AHP

Оптимальный выбор с методом анализа иерархий.

Начать расчет

О методе AHP

Метод анализа иерархий (AHP) — это метод, применяемый для решения многокритериальных задач и оценки различных вариантов решений, предложенный американским математиком Томасом Саати в 1970-х годах. Этот метод используется для оценки и выбора наиболее оптимального варианта из множества альтернатив, принимая во внимание различные критерии и факторы.

Этапы работы метода анализа иерархий

  1. Определение цели и построение иерархической структуры

    2. На этом этапе формируется иерархическая структура проблемы. Цель задачи помещается на верхний уровень иерархии, затем выделяются критерии, которые влияют на выбор. На низшем уровне размещаются альтернативы, которые будут оцениваться.

  2. Попарное сравнение элементов

    3. Следующим шагом является попарное сравнение критериев и альтернатив между собой. Для этого используется шкала Саати (от 1 до 9), где 1 означает равенство элементов, а 9 — абсолютное превосходство одного элемента над другим.

  3. Построение матрицы сравнений

    4. Для каждого уровня (критерии и альтернативы) создаются матрицы сравнений, где элементы попарно сравниваются между собой, и затем заполняются соответствующими значениями шкалы Саати.

  4. Расчет весов (приоритетов)

    5. На основе построенных матриц сравнений вычисляются веса для каждого элемента. Для этого используется метод нахождения собственного вектора матрицы. Это позволяет определить, какой критерий или альтернатива имеет наибольший приоритет.

  5. Окончательное принятие решения

    6. На основе рассчитанных весов критериев и альтернатив происходит вычисление итогового рейтинга каждой альтернативы. Лучший вариант выбирается в зависимости от того, какой из них имеет наибольший вес с учетом всех критериев.

Где можно применить метод анализа иерархии?

В чем преимущества этого метода?

Пример

Определение цели и построение иерархической структуры

Цель: квартира для временного проживания сотрудников при частых командировках.

Основные критерии:

  • Цена;
  • Размер;
  • Комнаты;
  • Близость;
  • Категория.

Основные альтернативы:

  • Квартира 1
  • Квартира 2
  • Квартира 3

Дерево критериев и альтернатив:

Дерево
Попарное сравнение элементов

Исходно попарное сравнение по качественной шкале, с последующим преобразованием в баллы:

Равно, безразлично =1
Немного лучше (хуже) =3 (1/3)
Лучше (хуже) =5 (1/5)
Значительно лучше (хуже) =7 (1/7)
Принципиально лучше (хуже) =9 (1/9)

При промежуточном мнении используются промежуточные баллы 2, 4, 6, 8.

Построение матрицы сравнений

Построение таблицы попарных сравнений критериев

Цена Размер Комнаты Близость Категория
Цена 1 3 1 1/2 5
Размер 1/3 1 1/4 1/7 2
Комнаты 1 4 1 1 6
Близость 2 7 1 1 8
Категория 1/5 1/2 1/6 1/8 1

Построение таблиц попарных покритерных сравнений альтернатив

Цена Квартира 1 Квартира 2 Квартира 3
Квартира 1 1 4 1/2
Квартира 2 1/4 1 1/5
Квартира 3 2 5 1
Размер Квартира 1 Квартира 2 Квартира 3
Квартира 1 1 2 1/3
Квартира 2 1/2 1 1/4
Квартира 3 3 4 1
Комнаты Квартира 1 Квартира 2 Квартира 3
Квартира 1 1 1 1/2
Квартира 2 1 1 1/3
Квартира 3 2 3 1
Близость Квартира 1 Квартира 2 Квартира 3
Квартира 1 1 3 1/4
Квартира 2 1/3 1 1/5
Квартира 3 4 5 1
Категория Квартира 1 Квартира 2 Квартира 3
Квартира 1 1 1/2 5
Квартира 2 2 1 6
Квартира 3 1/5 1/6 1
Расчет весов (приоритетов)

В этом пункте мы нормируем матрицы, т.е. находим сумму элементов каждого столбца, а затем делим все элементы матрицы на сумму элементов соответствующего столбца.

$$ a_{ij} $$ Цена Размер Комнаты Близость Категория
Цена 1 3 1 1/2=0.5 5
Размер 1/3=0.333 1 1/4=0.25 1/7=0.143 2
Комнаты 1 4 1 1 6
Близость 2 7 1 1 8
Категория 1/5=0.2 1/2=0.5 1/6=0.167 1/8=0.125 1
СУММА 4.533 15.2 3.417 2.768 22
$$ A_{ij} $$ Цена Размер Комнаты Близость Категория
Цена 1/4.533 3/15.2 1/3.417 0.5/2.768 5/22
Размер 0.333/4.533 1/15.2 0.25/3.417 0.143/2.768 2/22
Комнаты 1/4.533 4/15.2 1/3.417 1/2.768 6/22
Близость 2/4.533 7/15.2 1/3.417 1/2.768 8/22
Категория 0.2/4.533 0.2/15.2 0.167/3.417 0.125/2.768 1/22

Находим среднее значение для каждой строки. Полученный столбец задает "веса" критериев с точки зрения поставленной цели

$$ A_{ij} $$ Цена Размер Комнаты Близость Категория СРЗНАЧ
Цена 0.221 0.197 0.293 0.181 0.227 0.224
Размер 0.073 0.066 0.073 0.052 0.091 0.071
Комнаты 0.221 0.263 0.293 0.361 0.273 0.282
Близость 0.441 0.461 0.293 0.361 0.364 0.384
Категория 0.044 0.013 0.049 0.045 0.045 0.039

Промежуточный вывод.

Критерий Вес в долях Вес в процентах
Цена 0.224 22.4%
Размер 0.071 7.1%
Комнаты 0.282 28.2%
Близость 0.384 38.4%
Категория 0.039 3.9%

Проделываем все то же самое для покритеальных сравнений альтернатив.

Критерий "Цена"
цена Квартира 1 Квартира 2 Квартира 3
Квартира 1 1 4 1/2=0.5
Квартира 2 1/4=0.25 1 1/5=0.2
Квартира 3 2 5 1
СУММА 3.25 10 1.7
цена Квартира 1 Квартира 2 Квартира 3
Квартира 1 1/3.25 4/10 0.5/1.7
Квартира 2 0.25/3.25 1/10 0.2/1.7
Квартира 3 2/3.25 5/10 1/1.7
цена Квартира 1 Квартира 2 Квартира 3 СРЗНАЧ
Квартира 1 0.308 0.400 0.294 0.334
Квартира 2 0.077 0.100 0.118 0.098
Квартира 3 0.615 0.500 0.588 0.568
цена Вес в долях Вес в процентах
Квартира 1 0.334 33.4%
Квартира 2 0.098 9.8%
Квартира 3 0.568 56.8%

Критерий "Размер"
размер Квартира 1 Квартира 2 Квартира 3
Квартира 1 1 1/2=0.5 3
Квартира 2 2 1 4
Квартира 3 1/3=0.33 1/4=0.25 1
СУММА 3.33 1.75 8
размер Квартира 1 Квартира 2 Квартира 3
Квартира 1 1/3.33 0.5/1.75 3/8
Квартира 2 2/3.3 1/1.75 4/8
Квартира 3 0.33/3.33 0.25/1.75 1/8
размер Квартира 1 Квартира 2 Квартира 3 СРЗНАЧ
Квартира 1 0.300 0.286 0.375 0.320
Квартира 2 0.600 0.571 0.500 0.557
Квартира 3 0.100 0.143 0.125 0.123
размер Вес в долях Вес в процентах
Квартира 1 0.320 32%
Квартира 2 0.557 55.7%
Квартира 3 0.123 12.3%

Критерий "Комнаты"
комнаты Квартира 1 Квартира 2 Квартира 3
Квартира 1 1 1 2
Квартира 2 1 1 3
Квартира 3 1/2=0.5 1/3=0.33 1
СУММА 2.5 2.33 6
комнаты Квартира 1 Квартира 2 Квартира 3
Квартира 1 1/2.5 1/2.33 2/6
Квартира 2 1/2.5 1/2.33 3/6
Квартира 3 0.5/2.5 0.33/2.33 1/6
комнаты Квартира 1 Квартира 2 Квартира 3 СРЗНАЧ
Квартира 1 0.400 0.429 0.333 0.387
Квартира 2 0.400 0.429 0.500 0.443
Квартира 3 0.200 0.143 0.167 0.170
комнаты Вес в долях Вес в процентах
Квартира 1 0.387 38.7%
Квартира 2 0.443 44.3%
Квартира 3 0.170 17%

Критерий "Близость"
близость Квартира 1 Квартира 2 Квартира 3
Квартира 1 1 1/3=0.33 4
Квартира 2 3 1 5
Квартира 3 1/4=0.25 1/5=0.2 1
СУММА 4.25 1.53 10
близость Квартира 1 Квартира 2 Квартира 3
Квартира 1 1/4.25 0.33/1.53 4/10
Квартира 2 3/4.25 1/1.53 5/10
Квартира 3 0.25/4.25 0.2/1.53 1/10
близость Квартира 1 Квартира 2 Квартира 3 СРЗНАЧ
Квартира 1 0.235 0.217 0.400 0.284
Квартира 2 0.706 0.652 0.500 0.619
Квартира 3 0.059 0.130 0.100 0.096
близость Вес в долях Вес в процентах
Квартира 1 0.284 28.4%
Квартира 2 0.619 61.9%
Квартира 3 0.096 9.6%

Критерий "Категория"
категория Квартира 1 Квартира 2 Квартира 3
Квартира 1 1 2 1/5=0.2
Квартира 2 1/2=0.5 1 1/6=0.17
Квартира 3 5 6 1
СУММА 6.5 9 1.37
категория Квартира 1 Квартира 2 Квартира 3
Квартира 1 1/6.5 2/9 0.2/1.37
Квартира 2 0.5/6.5 1/9 0.17/1.37
Квартира 3 5/6.5 6/9 1/1.37
категория Квартира 1 Квартира 2 Квартира 3 СРЗНАЧ
Квартира 1 0.154 0.222 0.146 0.174
Квартира 2 0.077 0.111 0.122 0.103
Квартира 3 0.769 0.667 0.732 0.723
цена Вес в долях Вес в процентах
Квартира 1 0.174 17.4%
Квартира 2 0.103 10.3%
Квартира 3 0.723 72.3%

Окончательное принятие решения

В итоге у нас получились 2 таблицы: вектор весов критериев и матрица весов покритеального сравнения альтренатив:

Цена Размер Комнаты Близость Категория
Квартира 1 0.334 0.320 0.387 0.284 0.174
Квартира 2 0.098 0.557 0.443 0.619 0.103
Квартира 3 0.568 0.123 0.170 0.096 0.723
Вес в долях
Цена 0.224
Размер 0.071
Комнаты 0.282
Близость 0.384
Категория 0.039

После их перемножения у нас получаются веса альтернатив с точки зрения достижения поставленной цели:

Вес в долях Вес в %
Квартира 1 0.323 32.3%
Квартира 2 0.428 42.8%
Квартира 3 0.249 24.9%

Из таблицы мы видим, что Квартира 2 является наиболее привлекательной для данной цели.

Возможности нашего сайта

Начать расчет

Внесите данные и получите результат.

Перейти к расчету Загрузить файл с конфигурацией